המתמטיקה שהצליחה לתאר את היקום

יום אחד קם לו גאון, בלי לדעת שהוא כזה, ויוצר תיאוריה מתמטית שתשרוד אחריו מאות שנים. התיאוריה שעזרה לאיינשטיין להבין כיצד נראה היקום.

16.04.2018 מאת: פורטל הכרמל
המתמטיקה שהצליחה לתאר את היקום

זה התחיל כשקרל פרידריך גאוס היה בערך בן 7. המורה למתמטיקה בבית הספר ביקשה דבר "פשוט" מהכיתה - לסכם את כל המספרים מאחד עד מאה.

תודו שזה מאתגר, גם אם אתם מבוגרים וכבר סיימתם את לימודי המתמטיקה שלכם. איך מצליחים לסכם מאה מספרים בלי מחשבון? הרי גם עם מחשבון זה לוקח זמן לרובנו.

כל ילדי הכיתה פצחו במשימה, כשלפתע קם גאוס מהכיסא והכריז שסיים את המטלה.

איך הוא עשה את זה תוך שנייה ושליש, אתם שואלים?

"פשוט" מאוד.

גאוס הבין, באבחת אינטואיציה שממש לא מתחייבת מגילו הצעיר, שאם יסכם את כל זוגות המספרים הנמצאים בקצוות מנוגדים אך שווים במרחקם, הוא תמיד יקבל 101. לדוגמה זוג המספרים 1 ו-100 או זוג המספרים 2 ו-99 וכן הלאה - כולם מסתכמים ב-101. מרגע שהבין זאת, הוא פשוט הכפיל את כל 50 זוגות המספרים ב-101 וקיבל את סכום הסדרה - 5,050.

הישגיו של גאוס בהחלט לא הסתכמו בסיכום סדרות מספרים, ומחברותיו מלאות במשוואות ובתיאוריות מתמטיות שכנראה לא פוענחו עד היום. אחת מהתיאוריות הללו עסקה בשאלה כיצד מודדים שטח שאינו ישר באמצעות גיאומטריה דיפרנציאלית.

בתחילת המאה ה-19 גאוס טבע את המונח "עקמומיות גאוס", שהיה ראשיתה של שיטה חדשה למדידת עקמומיות של משטחים ומרחבים. באותה תקופה פחות או יותר עשה זאת גם המתמטיקאי ההונגרי יאנוש בולאי, שיצר גם הוא תיאוריה של גיאומטירה לא אוקלידית (שאינה נסמכת על עקרונותיו של אוקלידס).

אחרי מותו של גאוס המשיך את דרכו תלמידו ברנרד רימאן, שהביא את תיאוריית העקמומיות לשיאים חדשים. בעוד שאצל גאוס התיאוריה עוסקת במספר סופי של ממדים, רימאן הצליח להשחיז את התיאוריה בכישוריו המתמטיים ושדרג אותה גם למצבים הכוללים מספר אינסופי של ממדים. בין הישגיו המופלאים של רימאן כלולה גם "השערת רימאן" - שלא הוכחה עד היום.

בשלב זה קל לתהות מה הקשר של כל המתמטיקה הטהורה הזו לעולם שלנו. הרי כל ה"הזיות" הללו יפות למחקר תיאורטי, אך האם יש לכך השלכה על העולם האמיתי?

זה מה שיפה בעולמה של המתמטיקה - לעולם אין לדעת לאיזה יישום מעשי היא תוביל בסופו של דבר.

כדי לתאר את המרחבים האינסופיים שלו, רימאן יצר מושג חדש שנקרא טנסור (Tensor) - אוסף של מספרים הישימים לכל נקודה במרחב, שיתארו כמה המרחב בנקודה זו מתעוות ומתרחק ממרחב ישר. כל טנסור מגיע עם דרגה משלו - דרגה 2 נקראת מטריצה, דרגה 1 נקראת וקטור ודרגה 0 נקראת סקלר (והנה כבר הגענו למושגים מוכרים יותר מעולם המתמטיקה והפיזיקה).

אם מדובר במרחב של 4 ממדים, רימאן גילה שצריך ליישם טנסור עם 10 מספרים בכל נקודת מרחב כדי לתאר את תכונותיו, בלי קשר לשאלה כמה הוא מתעוות ומתעקם. הניסוח הזה, שידוע בתור "מטריקת רימאן", עשה את דרכו כמה עשרות שנים מאוחר יותר היישר אל תורת היחסות הכללית של איינשטיין.

איינשטיין, שהסתבך קשות עם התיאוריה של רימאן, נעזר בחברו המתמטיקאי מרסל גרוסמן. זה לקח לו כמה שנים טובות ולפעמים היה נדמה לו שלעולם לא יסיים. אחד מציטוטיו הידועים בהקשר לתקופת הזמן הזו, היה ש"תורת היחסות הפרטית היא משחק ילדים לעומת זה".

בסופו של דבר הצליח איינשטיין להביא את המתמטיקה הטהורה אל תוך המציאות. התיאוריות של גאוס ורימאן הובילו אותו עקב בצד אגודל ליצירת מודל של היקום, בו משתמשים הפיזיקאים עד היום. תורת היחסות הכללית לא רק חוזה את צורת היקום ואת התנהגותו, אלא גם התנהגויות מורכבות נוספות מעולם האסטרופיזיקה כגון חורים שחורים, האטת הזמן ועוד שפע של תגליות.

הירשמו לתואר שני במתמטיקה באוניברסיטת אריאל, ובואו להיות מהפכני המתמטיקה הבאים.

 

תגובות

מומלצים